2.6.6. Уравнение диффузии

Если среда заполнена газом с различной концентрацией, то

происходит диффузия из мест с большей концентрацией в места с меньшей

концентрацией. Аналогичное явление наблюдается и в растворах, если

концентрация растворимого вещества для данного объема не является

постоянной.

В задачах о диффузии в пространственных областях неизвестной

функцией является концентрация диффундирующего вещества, которую

обозначают через

 

, , , .c c x y z t

Процесс диффузии во многом схож с процессом распространения

тепла. Поэтому в предположениях (А+С), аналогичных тем, которые были

сделаны в п. 2.6.1, получаем, что функция

 

, , ,c c x y z t

должна

удовлетворять трехмерному параболическому уравнению.

6Б14 (Пространственная задача диффузии). Найти решение

 

, , ,c c x y z t

ДУ с ЧП

2 2 2

c c c c

x y z



   

  





  



удовлетворяющее начальному условию

   

, , , , , ,

c x y z t f x y z



а также

граничным условиям, задаваемым главным образом в виде









(2.87)

 

, , , .c x y z t C





(2.88)

Здесь постоянная

 

0D

называется коэффициентом диффузии,

заданная функция

 

,,f x y z

определяет начальную концентрацию, Г –

граница области, в которой происходит диффузия.

Условие (2.87) означает, что граница области для диффундирующего

вещества является непроницаемой стенкой. Условие (2.88) определяет

концентрацию на границе области.

6А+Б15 (Линейная задача диффузии – задача о диффузии в тонкой

трубке с непроницаемой стенкой). Найти решение

 

,c c x t

уравнения







, удовлетворяющее начальному условию

   

c x t f x



и краевым условиям вида







или

cc

на конце или

на концах трубки (первое условие на одном, второе – на другом конце;

первое условие на обоих концах, второе условие на обоих концах).